Theorema Phytagoras, Beberapa Pembuktian Rumus Pytagoras
Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di
depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
1. Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal
berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi
catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari
sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2 + b2 = c2
2. Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit
manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk
gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui
dua cara akan diperoleh:
(a + b) = c2 +
4. ½ ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +
2 ab
a2 + b2 = c2
3. Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara
(matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar
dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku
dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS + 4 x luas
ABQ = luas ABCD
(b – a)2 +
4 x ½ . ab = c2
b2 – 2ab + a2 +
2ab = c2
a2 + b2 = c2
4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas
daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema
Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas
trapesium = (alas
+ atas)/2.
tinggi = (a + b)/2.
(a + b)
Di lain pihak, luas
trapesium = 2.
½ ab + ½ c2
Sehingga, (a + b)/2. (a + b) = 2.
½ ab + ½ c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
5. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ...
(1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ...
(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c . c1 + c . c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2
6. Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh
900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat
rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga ABC.
½ a2 = (1)
½ b2 = (2)
+ (3)
------------------------------------ +
½ a2 + ½ b2 = (1)
+ (2) + (3)
= [(1)
+ (2)] + (3)
= ½ cx +
½ cy
= ½ c (x
+ y)
= ½ c.c
= ½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
