Theorema Phytagoras, Beberapa Pembuktian Rumus Pytagoras

Add Comment

Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
1.    Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa:

Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2 + b2 = c2

2.    Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh:
(a + b)                     =          c2 + 4. ½ ab
a2 + 2ab + b2          =          c2 + 2 ab
a2 + b2                     =          c2





3.    Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS + 4  x luas ABQ    =      luas ABCD
(b – a)2 + 4 x ½ . ab                =      c2
b2 – 2ab + a2 + 2ab                =      c2
                                              a2 + b2                                    =      c2


4.    Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.

Luas trapesium       =          (alas + atas)/2. tinggi               =          (a + b)/2. (a + b)
Di lain pihak, luas trapesium          =          2. ½ ab + ½ c2
Sehingga, (a + b)/2. (a + b)            =          2. ½ ab + ½ c2
a2 + 2ab + b2                                  =          2ab + c2
a2 + b2                                             =          c2







5.    Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ... (1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c . c1 + c . c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2

6.    Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh 900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga ABC.

½ a2                        =          (1)
½ b2                                =          (2) + (3)
------------------------------------ +
½ a2 + ½ b2             =          (1) + (2) + (3)
                               =          [(1) + (2)] + (3)
                               =          ½ cx + ½ cy
                               =          ½ c (x + y)
                               =          ½ c.c
                               =          ½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2


MATEMATIKA SMP Rumus menjawab Soal UN SMP

Add Comment

MATEMATIKA SMP

Yang harus kamu tahu adalah;








1.                   Soal-soal UN masih dalam bentuk PG (pilihan ganda). Artinya jawaban sudah ada dalam bentuk option pilihan A, B, C atau D. 
2.                   SOAL UN dibuat dengan proses pengerjaan waktu 1 soal maksimal 1 menit. He he he iya dong. kalau yang buat soalnya saja lebih dari 1 menit bagaimana dengan siswanya bisa-bisa 3 menit ngak kelar dong. Ingat waktu hanya 120 menit untuk 40 soal artinya 1 soal 3 menit. (sudah termasuk baca soal, ingat-ingat rumus dan proses pengerjaannya). 
3.                   Baca soal dengan benar. Banyak siswa tidak dapat menjawab soal bukan karena tidak bisa berhitung atau tidak tahu tentang apa dan rumusnya apa. tetapi tidak mengerti terhadap isi bacaaan.
4.                   SOAL UN memiliki kreteria tertentu. misalnya jawaban harus bilangan yang mudah, agar proses perhitungannya mudah.
5.                    UN matematika itu bukan semata ditujukan kepada kemampuan berhitung tapi lebih kepada kemampuan berlogika.
6.                   Tahu batasan dalam berhitung. Perlu melihat option jawaban sebelum melakukan proses berhitung. Jika jawaban angka belakangnya berbeda-beda artinya kalian cukup melakukan proses berhitung dengan angka belakang saja.
7.                   SOAL UN itu tidak butuh cara. tapi jawaban yang benar. Jadi carilah cara yang sesingkat mungkin. beberapa cara yang diajarkan di sekolah mungkin tidak di perlukan dalam menjawab UN matematika (Lama dan buang waktu). 
8.                   Sistem penilaiannya didasarkan pada jawaban benar. Artinya, daripada dibiarkan kosong mendingan diisi semua. menjawab salah tidak akan didenda. menjawab benar mendapat skor.

Contoh jawab Soal UN Matematika SMP

Selamat menempuh Ujian Nasinal semoga nilai-nilainya bagus semua.


















































TRIK PERKALIAN TERCEPAT DAN RUMUS KUADRAT TANPA KALKULATOR

Add Comment
Matematika itu sangat mudah. Seperti kita ketahui matematika adalah salah satu pelajaran yang sangat tidak disukai dan dibenci oleh banyak sekali orang karena rumus dari matematika yang sangat rumit yang membuat orang membenci pelajaran tersebut. Sebenarnya banyak cara mudah dan cepat yang biasa saya berikan kepada murid-murid saya yang sering dikenal sebagai cara Mental Sum yang menjadi value added Bimbel Akong.

 Cara mental sum ini sebenarnya sudah diperkenalkan secara dini untuk murid murid bersekolah SD (primary) bahkan Playgroup di Singapore, dimana mereka tidak diperbolehkan berhitung menulis, namun dipikirkan di otak, kemudian setelah beberapa detik ditulis jawabannya. Ketika saya business travel di Singapore, anak TK B di Singapore ternyata sudah belajar perkalian dua digit, tanpa menghitung manual, namun dipikir di otak. Bagaimana dengan di Indonesia?

Saya akan share sedikit deh, 9 cara mudah berhitung matematika berikut ini

1. Rumus Kuadrat dua digit dengan awalan digit lima

Cara menghitungnya adalah dengan menambahkan bilangan 25 dengan satuan bilangan yang akan dikuadratkan. Kemudian kuadratkanlah satuan bilangan yang akan dikuadratkan tersebut. Lalu gabungkan (Khusus untuk angka satuan 1,2, dan 3 hasil kuadratnya harus dituliskan dengan 01, 04, dan 09)

Contohnya

Berapa Kuadrat 56 = ?

25 + 6 (6 merupakan digit terakhir)  = 31
Kuadrat 6 = 36
Hasil gabungan akhirnya adalah 3136
2. Rumus Kuadrat tiga digit dengan digit akhir lima

Firstly, kalikan angka sebelum angka lima dengan angka urutan selanjutnya dan kemudian tuliskan angka 25 di belakang dengan angka dari hasil pertama

Contohnya:

Berapa Kuadrat 225 = ?

Angka sebelum 5, yakni angka 22. Kemudian, angka setelah 22 yakni angka 23. Kemudian kita kalikan 22 x 23 = 506
Kemudian hasilnya kita tambahkan angka 25 di belakangnya, sehingga hasilnya adalah 50.625
3.Rumus kuadrat dua digit dengan digit terakhir satu

Ambil angka puluhan kemudian dikuadratkan (misalkan diperoleh C). Kemudian ambil kembali angka puluhan yang pertama (misalkan A), kemudian dapatkan 1 angka setelah angka puluhan tersebut (misalkan B). Lalu tambahkan A dan B, semisal diperoleh D. Akhirnya tambahkan C+D

Contohnya:

Berapa Kuadrat 31 = ?

Kuadrat 30 = 900 …. (C)
Angka setelah 30 (A), yakni 31 (B)
31 + 30 = 61 …. (D)
Jumlahkan C+D   = 900 + 61 = 961
4.Rumus perkalian satu digit atau dua digit dengan 99

Mula-mula kurangi bilangan pertama dengan angka 1 terlebih dahulu kemudian kurangi bilangan 100 dengan bilangan tersebut. Hasil akhirnya tinggal digabungkan saja.

Contohnya :

Berapa 42 x 99 = ?

42 – 1 = 41
100 – 42 = 58
Hasilnya adalah 4158
5.Rumus perkalian dua digit dengan angka 11

Perhitungan ini seperti membalikkan telapak tangan. Mula-mula untuk bilangan pertama (selain 11), kita sisipkan dua digit tersebut, dengan 1 digit yang merupakan hasil penjumlahan kedua digit bilangan bersebut.

Contohnya:

Berapa 72 x 11 = ?

7 ? 2
7 + 2 = 9
Hasilnya adalah 792
6.Rumus perkalian dua digit dengan 101

Piece of pizza, yakni dengan cara tuliskan angkanya dua kali.

Contohnya adalah

Berapa 33 x 101 = ?

33ditulis 2 kali sehingga menjadi 3333
7.Rumus perkalian even number dengan 1,5 atau 2,5 atau 3,5 dan seterusnya

Kalikan bilangan pengalian dengan 2. Lalu bilangan pertama yang dikalikan dibagi dengan angka 2. Hasil akhirnya adalah perkalian dari bilangan pengalian dengan 2 dengan hasil dari bilangan yang dibagikan dengan angka 2

Contoh 1 :

Berapa 32 x 2,5 = ?

2,5 x 2 = 5
32 : 2 = 16
Hasilnya adalah 5 x 16 = 80
Contoh 2 :

Berapa 20 x 7,5 = ?

7,5 x 2 = 15
20 : 2 = 10
Hasilnya adalah 15x 10 = 150
8.Rumus perkalian dua bilangan (dua digit) dengan nilai berselisih dua

Pertama tama adalah kuadratkan bilangan di antaranya. Lalu hasilnya dikurangkan dengan 1

Contohnya:

Berapa 14 x 16 = ?

Kuadrat 15 = 225
Hasilnya adalah 225 – 1 = 224
9. Rumus perkalian dua bilangan dengan digit puluhan kedua bilangan yang bernilai sama dan jumlah digit kedua bilangan satuannya adalah 10

Mula mula kalikan bilangan puluhan dengan bilangan berikutnya , lalu kalikan masing-masing digit satuannya. Hasil akhirnya adalah penggabungan hasil dari bilangan puluhan yang di kalikan dengan bilangan satuan yang di kalikan.

Contohnya:

Berapa 38 x 32 = ?

3 x 4 = 12
8 x 2= 16
Hasilnya adalah 1216
Ternyata sangat mudah kan untuk mengerjakan perkalian dan kuadrat dengan rumus ini.
Langganan: Postingan (Atom)